某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为，圆心角为（弧度）．
（1）求关于的函数关系式；
（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？

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如图，已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在圆点 $O$ ，长轴左、右端点 $M$ 、 $N$ 在x轴上，椭圆 $C_{1}$ 的短轴为 $M N$ ，且 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率都为 $e$ ，直线 $l ⊥ M N$ ， $l$ 与 $C_{1}$ 交于两点，与 $C_{2}$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ .

（I）设 $e = \frac{1}{2}$ ，求 $| B C |$ 与 $| A D |$ 的比值；
（II）当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$ ，使得 $B O / / A N$ ,并说明理由.

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设函数 $f (x) = x + a x^{2} + b \ln x$ ，曲线 $y = f (x)$ 过 $P (1, 0)$ ，且在 $P$ 点处的切斜线率为 $2$ .
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）证明： $f (x) \leq 2 x - 2$ 。

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$某农搜索场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成 n 小块地，在总共 2 n 小块地中，随机选 n 小块地种品种甲，另外 n 小块地种植品种乙。（ 1 ）假设 n = 4 ，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为 X ，求 X 的分布列和数学期望；（ 2 ）试验时每大块地分成 8 小块，即 n = 8 ，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： k g / h m 2 ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？$

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如图,四边形 $A B C D$ 为正方形, $Q A ⊥$ 平面 $A B C D, P D ∥ Q A, Q A = A B = \frac{1}{2} P D$ .

(I)证明: $P Q ⊥$ 平面 $D C Q$ ；
(II)求棱锥 $Q - A B C D$ 的体积与棱锥 $P - D C Q$ 的体积的比值.

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$△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin A \sin B + b \cos^{2} A = \sqrt{2} a$ .

(1)求 $\frac{b}{a}$

(2)若 $C^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a^{2}$ ,求 $B$ .

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