如图,抛物线y=x²+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点.点A的横坐标为-3,点B在y轴上,点P是y轴左侧抛物线上的一动点,横坐标为m,过点P作PC⊥x轴于C,交直线AB于D. (1)求抛物线的解析式; (2)当m为何值时,; (3)是否存在点P,使△PAD是直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
为了庆祝中国共产党建党100周年,某校开展了学党史知识竞赛.参加知识竞赛的学生分为甲乙两组,每组学生均为20名,赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表(如图),已知竞赛成绩满分为100分,统计表中 a , b 满足 b = 2 a .请根据所给信息,解答下列问题:
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩(分 )
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
(1)求统计表中 a , b 的值;
(2)小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是: ( 70 + 80 + 90 + 100 ) ÷ 4 = 85 (分 ) .根据所学统计知识判断小明的计算是否正确,若不正确,请写出正确的算式并计算出结果;
(3)如果依据平均成绩确定竞赛结果,那么竞赛成绩较好的是哪个组?请说明理由.
如图,抛物线 y = a x 2 + bx + 3 交 x 轴于 A ( 3 , 0 ) , B ( − 1 , 0 ) 两点,交 y 轴于点 C ,动点 P 在抛物线的对称轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当以 P , B , C 为顶点的三角形周长最小时,求点 P 的坐标及 ΔPBC 的周长;
(3)若点 Q 是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点 Q ,使得以 A , C , P , Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
已知 ΔAOB 和 ΔMON 都是等腰直角三角形 ( 2 2 OA < OM < OA ) , ∠ AOB = ∠ MON = 90 ° .
(1)如图1,连接 AM , BN ,求证: AM = BN ;
(2)将 ΔMON 绕点 O 顺时针旋转.
①如图2,当点 M 恰好在 AB 边上时,求证: A M 2 + B M 2 = 2 O M 2 ;
②当点 A , M , N 在同一条直线上时,若 OA = 4 , OM = 3 ,请直接写出线段 AM 的长.
如图, AB 是 ⊙ O 的直径,过点 A 作 ⊙ O 的切线 AC ,点 P 是射线 AC 上的动点,连接 OP ,过点 B 作 BD / / OP ,交 ⊙ O 于点 D ,连接 PD .
(1)求证: PD 是 ⊙ O 的切线;
(2)当四边形 POBD 是平行四边形时,求 ∠ APO 的度数.
为做好新冠疫情的防控工作,某单位需购买甲、乙两种消毒液,经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元,该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液.
(1)求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元?
(2)由于疫情防控进入常态化,该单位需再次购买两种消毒液共300桶,且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的 1 3 .由于购买量大,甲、乙两种消毒液分别获得了20元 / 桶、15元 / 桶的批发价.求甲种消毒液购买多少桶时,所需资金总额最少?最少总金额是多少元?