设等差数列$\left\{a_n\right\}$的公差为$d$，点$(a_n,b_n)$在函数$f\left(x\right)=2^x$的图象上（$n\in N^{*}$）.
（1）证明：数列$\left\{b_n\right\}$是等比数列；
（2）若$a_1=1$，函数$f\left(x\right)$的图象在点$(a_2,b_2)$处的切线在$x$轴上的截距为$2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列$\left\{a_n{b_n}^2\right\}$的前$n$项和$S_n$.