已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的一个焦点为$(\sqrt{5},0)$，离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$.
（1）求椭圆$C$的标准方程；
（2）若动点$P(x_0,y_0)$为椭圆外一点，且点$P$到椭圆$C$的两条切线相互垂直，求点$P$的轨迹方程.