20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频数分布直方图如下: (1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)分别球出成绩落在 [ 50 , 60 ) 与 [ 60 , 70 ) 中的学生人数; (3)从成绩在 [ 50 , 70 ) 的学生中人选2人,求此2人的成绩都在 [ 60 , 70 ) 中的概率.
已知函数的图象在点(为自然对数的底数)处的切线的斜率为. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)若对任意成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)当时,证明:.
如图,在平面直角坐标系中,离心率为的椭圆的左顶点为,过原点的直线(与坐标轴不重合)与椭圆交于两点,直线分别与轴交于两点.若直线斜率为时,. (Ⅰ) 求椭圆的标准方程; (Ⅱ)试问以为直径的圆是否经过定点(与直线的斜率无关)?请证明你的结论.
如图,在多面体中,四边形是正方形,.. (Ⅰ) 求证:; (Ⅱ)求二面角的余弦值的大小.
已知在数列中,,,. (Ⅰ)证明数列是等差数列,并求的通项公式; (Ⅱ)设数列的前项和为,证明:.
已知. (Ⅰ)求函数的单调递增区间; (Ⅱ)设,且,求.