设函数$f\left(x\right)=2\left|x-1\right|+x-1,g\left(x\right)=16x^2-8x+1$，记$f\left(x\right)\le 1$的解集为$M$，$g\left(x\right)\le 4$的解集为$N$.
（1）求$M$；
（2）当$x\in M\cap N$时，证明：$x^{2}f\left(x\right)+x{\left[f\left(x\right)\right]}^2\le \frac{1}{4}$.