某小组共有、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某小组共有、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指
标（单位:千克/米²）如下表所示：


身高
体重指标

（1）从该小组身高低于的同学中任选人，求选到的人身高都在以下的概率；
（2）从该小组同学中任选人，求选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率．

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已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + m)$ .
 (Ι)设 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极值点，求 $m$ ，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $m \leq 2$ 时，证明 $f (x) > 0$ .

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平面直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $M :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 右焦点的直线 $x + y - \sqrt{3} = 0$ 交 $M$ 于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 的中点，且 $O P$ 的斜率为.
(Ι)求 $M$ 的方程；
（Ⅱ） $C, D$ 为 $M$ 上的两点，若四边形 $A C B D$ 的对角线 $C D ⊥ A B$ ，求四边形面积的最大值

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经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 $1 t$ 该产品获利润 $500$ 元，未售出的产品，每 $1 t$ 亏损 $300$ 元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了 $130 t$ 该农产品.以 $x$ （单位： $t$ ， $100 \leq x \leq 150$ ）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量， $T$ 表示利润.

（Ⅰ）将 $T$ 表示为 $x$ 的函数
（Ⅱ）根据直方图估计利润 $T$ 不少于 $57000$ 元的概率;
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若 $x \in [100, 110)$ ,则取 $x = 105$ ，且 $x = 105$ 的概率等于需求量落入 $[100, 110)$ ，求 $T$ 的数学期望.

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如图，直棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, B B_{1}$ 的中点， $A A_{1} = A C = C B = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ .

（Ⅰ）证明： $B C_{1} / /$ 平面 $A_{1} C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D - A_{1} C - E$ 的正弦值.

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$△ A B C$ 在内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b \cos C + c \sin B$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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