已知函数$f\left(x\right)=x\cos x-\sin x+1\left(x>0\right)$.
（1）求$f\left(x\right)$的单调区间；
（2）记$x_i$为$f\left(x\right)$的从小到大的第$i\left(i\in N^{*}\right)$个零点，证明：对一切$n\in N^{*}$，有$\frac{1}{{x^2}_1}+\frac{1}{{x^2}_2}+\cdots +\frac{1}{{{x^2}_n}^{}}<\frac{2}{3}$.