已知函数,其中,是自然对数的底数.(1)求函数的零点;(2)若对任意均有两个极值点,一个在区间(1,4)内,另一个在区间[1,4]外,求a的取值范围;(3)已知,且函数在R上是单调函数,探究函数的单调性.
一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成,点、、在圆的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12,如图4所示,其中,,,.(1)求证:;(2)求三棱锥的体积.
为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);……;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图3所示,已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数为8.(1)将频率当作概率,请估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数;(2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩;(3)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.
已知函数.(1)求函数的最小正周期和值域;(2)若函数的图象过点,.求的值.
已知函数,,图象与轴异于原点的交点M处的切线为,与轴的交点N处的切线为, 并且与平行.(1)求的值;(2)已知实数t∈R,求的取值范围及函数的最小值;(3)令,给定,对于两个大于1的正数,存在实数满足:,,并且使得不等式恒成立,求实数的取值范围.
已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.(1) 求数列的通项公式;(2) 设数列满足,是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的的值;若不存在,请说明理由。(3) 令,记数列的前项和为,其中,证明:。