（本小题满分14分）已知函数，（1）若函数在上是减函数，求实

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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（本小题满分14分）已知函数，
（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（３）求证：当时，

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已知函数 $f (x) = x - \ln (x + a)$ 的最小值为0，其中 $a > 0$

（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）若对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 有 $f (x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；
（Ⅲ）证明 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - \ln (2 n + 1) < 2, (n \in N^{*})$ .

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 $|A P| = |O A|$ ，证明直线 $O P$ 的斜率 $k$ 满足 $|k| > \sqrt{3}$

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已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2, a_{4} + b_{4} = 27$ ， $S_{4} - b_{4} = 10$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $T_{n} = a_{n} b_{1} + a_{n - 1} b_{2} + \dots + a_{1} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明 $T_{n} + 12 = - 2 a_{n} + 10 b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A C ⊥ A D, A B ⊥ B C, ∠ B A C = 45^{°}, P A = A D = 2, A C = 1$ .
（Ⅰ）证明 $P C ⊥ A D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $P A$ 上的点，满足异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，求 $A E$ 的长.

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现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用 $X, Y$ 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $ξ = |X - Y|$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E ξ$ .

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