已知函数f(x)xaex(a∈R),xͧ_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数 $f (x) = x - a e^{x} (a \in R), x \in R$ ．已知函数 $y = f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．
（1）求 $a$ 的取值范围；
（2）证明 $\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 随着 $a$ 的减小而增大；
（3）证明 $x_{1} + x_{2}$ 随着 $a$ 的减小而增大．

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已知函数 $f (x) = m - | x - 2 |$ ， $m \in R$ ，且 $f (x + 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 1, 1]$ .
（Ⅰ）求 $m$ 的值；
（Ⅱ）若 $a, b, c \in R$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} = m$ ，求证： $a + 2 b + 3 c \geq 9$ .

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设曲线 $2 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 1$ 在矩阵 $A = (\begin{matrix} a & 0 \\ b & 1 \end{matrix}) (a > 0)$ 对应的变换作用下得到的曲线为 $x^{2} + y^{2} = 1$ .

（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值
（Ⅱ）求 $A^{2}$ 的逆矩阵

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已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - e x, a \in R$ .
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）试确定 $a$ 的取值范围，使得曲线 $y = f (x)$ 上存在唯一的点 $P$ ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 $P$ .

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如图，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ 。过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为8

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程。
（Ⅱ）设动直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$ ，且与直线 $x = 4$ 相较于点 $Q$ 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由

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如图,在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A A_{1} = A D = 1$ , $E$ 为 $C D$ 中点.

（Ⅰ）求证: $B_{1} E ⊥ A D_{1}$ ；
（Ⅱ）在棱 $A A_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ,使得 $D P ∥$ 平面 $B_{1} A E$ ？若存在,求 $A P$ 的长；若不存在,说明理由.
（Ⅲ）若二面角 $A - B_{1} E A_{1}$ 的大小为 $30^{°}$ ,求 $A B$ 的长.

题型：未知
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