已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M{0,1,2,&

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于1的自然数，设集合 $M = {0, 1, 2, \dots, q - 1}$ ，集合 $A = {x | x = x_{1} + x_{2} q + \dots + x_{n} q_{n} ﹣ 1 ， x_{i} \in M, i = 1, 2, \dots n}$ .

（Ⅰ）当 $q = 2, n = 3$ 时，用列举法表示集合 $A$ ；

（Ⅱ）设 $s, t \in A$ ， $s = a_{1} + a_{2} q + \dots + a_{n} q^{n ﹣ 1}, t = b_{1} + b_{2} q + \dots + b_{n} q^{n ﹣ 1}$ ，其中 $a_{i}, b_{i} \in M$ ， $i = 1, 2, . . ., n$ .证明：若 $a_{n} ＜ b_{n}$ ，则 $s < t$ .

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某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
（Ⅰ）求直方图中的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）