圆$x^2+y^2=4$的切线与$x$轴正半轴，$y$轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为$P$（如图），双曲线$C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$过点$P$且离心率为$\sqrt{3}$.
（1）求$C_1$的方程；
（2）椭圆$C_2$过点P且与$C_1$有相同的焦点，直线$l$过$C_2$的右焦点且与$C_2$交于$A,B$两点，若以线段$AB$为直径的圆心过点$P$，求$l$的方程.