某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为25

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{5}$ 和 $\frac{3}{5}$ ,现安排甲组研发新产品 $A$ ,乙组研发新产品 $B$ .设甲,乙两组的研发是相互独立的.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品 $A$ 研发成功,预计企业可获得万元,若新产品 $B$ 研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

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（本小题满分12分）已知函数处的切线恰好为轴。（I）求的值；（II）若区间恒为函数的一个单调区间，求实数的最小值；（III）记（其中），的导函数，则函数是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由。

题型：未知
难度：未知

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对于正整数 $n ⩾ 2$ ，用 $T_{n}$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 有实数根的有序数组 $(a, b)$ 的组数，其中 $a, b \in {1, 2, \dots, n}$ （ $a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a, b \in {1, 2, \dots, n}$ （ $a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_{n}$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 有实数根的概率.
（1）求 $T_{n^{2}}$ 和 $P_{n^{2}}$ ；
（2）求证：对任意正整数 $n ⩾ 2$ ，有 $P_{n} > 1 - \frac{1}{\sqrt{n}}$ 。

题型：未知
难度：未知

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如图，在四边形 $A B C D$ 中， $△ A B C ~ △ B A D$ .

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求矩阵 $A = [\begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}]$ 的逆矩阵.
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设 $a \geq b > 0$ ，求证： $3 a^{3} + 2 b^{3} \geq 3 a^{2} b + 2 a b^{2}$ .