如图14-1，在锐角△ABC中，AB = 5，AC =
，∠ACB = 45°．
计算：求BC的长；
操作：将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．如图14-2,当点C1在线段CA的延长线上时．
（1）证明：A1C1⊥CC1；
（2）求四边形A1BCC1的面积；
探究：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．连结AA1,CC1，如图14-3．若△ABA1的面积为5,求点C到BC1的距离；
拓展：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,如图14-4．
（1）若点P是线段AC的中点，求线段EP1长度的最大值与最小值；
（2）若点P是线段AC上的任一点,直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
如图1，在平面直角坐标系中， ， ，以 为圆心， 的长为半径的半圆 交 延长线于 ，连接 ， ，过 作 分别交 和半圆 于 ， ，连接 ， ．
（1）求证： 是半圆 的切线；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点 且顶点为 ．
①求此抛物线的解析式；
②点 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，问抛物线上是否存在一点 ．使 ？若存在，请直接写出 点的横坐标；若不存在，说明理由．
为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往 地240吨， 地260吨，运费如下表（单位：元 吨）．
| 目的地 生产厂 |
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| 甲 |
20 |
25 |
| 乙 |
15 |
24 |
（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？
（2）设这批物资从乙厂运往 地 吨，全部运往 ， 两地的总运费为 元．求 与 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；
（3）当每吨运费均降低 元 且 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求 的最小值．
如图，在矩形 中， ，点 是 边上的一点，将 沿着 折叠，点 刚好落在 边上点 处；点 在 上，将 沿着 折叠，点 刚好落在 上点 处，此时 ，
（1）求证： ；
（2）求 的长；
（3）求 的值．
九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 的图象与性质共探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是 与 的几组对应值，其中 ；
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1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
4 |
4 |
2 |
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描点：根据表中各组对应值 ，在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
① ；
② ；
（3）①观察发现：如图2．若直线 交函数 的图象于 ， 两点，连接 ，过点 作 交 轴于 ．则 ；
②探究思考：将①中"直线 "改为"直线 "，其他条件不变，则 ；
③类比猜想：若直线 交函数 的图象于 ， 两点，连接 ，过点 作 交 轴于 ，则 ．
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