设函数.（1）当时，求函数在区间内的最大值；（2）当时，方程

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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设函数.
（1）当时，求函数在区间内的最大值；
（2）当时，方程有唯一实数解，求正数的值.

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设 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 a x$ .
（1）若 $f (x)$ 在 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ 上存在单调递增区间，求 $a$ 的取值范围；
（2）当 $0 < a < 2$ 时， $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上的最小值为 $- \frac{16}{3}$ ，求 $f (x)$ 在该区间上的最大值.

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已知两个等比数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，满足 $a_{1} = a (a > 0), b_{1} - a_{1} = 1, b_{2} - a_{2} = 2, b_{3} - a_{3} = 3$ .
（1）若 $a = 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）若数列 ${a_{n}}$ 唯一，求 $a$ 的值.

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在 $∆ A B C$ 中,角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ,已知 $\sin C + \cos C = 1 - \sin \frac{C}{2}$ .
（1）求 $\sin C$ 的值；
（2）若 $a^{2} + b^{2} = 4 (a + b) - 8$ ,求边 $c$ .

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某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为 $A$ 饮料，另外4杯为 $B$ 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯 $A$ 饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令 $X$ 表示此人选对 $A$ 饮料的杯数.假设次人对 $A$ 和 $B$ 两种饮料没有鉴别能力.
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）求此员工月工资的期望.

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设整数 $n \geq 4$ ， $P (a, b)$ 是平面直角坐标系xoy中的点，其中 $a, b \in \{1, 2, 3 . . . . . . n\}, a > b$

（1）记 $A_{n}$ 为满足 $a - b = 3$ 的点P的个数，求 $A_{n}$ ；
（2）记 $B_{n}$ 为满足 $\frac{1}{3} (a - b)$ 是整数的点P的个数，求

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