如图，椭圆的中心为原点$O$，长轴在$x$轴上，离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点$F_1$作$x$轴的垂线交椭圆于$A$、$A`$两点，$\left|AA`\right|=4$．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于$x$轴的直线与椭圆相交于不同的两点$P$、$P`$，过$P$、$P`$作圆心为$Q$的圆，使椭圆上的其余点均在圆$Q$外．若$PQ\perp P`Q$，求圆$Q$的标准方程．