如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。（不要求写过程）
(3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．

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已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,点 $(2, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上.
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）直线 $l$ 不经过原点 $O$ ,且不平行于坐标轴, $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A, B$ ,线段 $A B$ 中点为 $M$ ,证明：直线 $O M$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率乘积为定值.

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如图,长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 16$ , $B C = 10$ , $A A_{1} = 8$ ,点 $E$ , $F$ 分别在 $A_{1} B_{1}, D_{1} C_{1}$ 上, $A_{1} E = D_{1} F = 4$ 过点 $E$ , $F$ 的平面 $α$ 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（Ⅱ）求平面 $α$ 把该长方体分成的两部分体积的比值.

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某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 $A, B$ 两地区分别随机调查了 $40$ 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 $A$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 $B$ 地区用户满意度评分的频率分布表.
$A$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图

$B$ 地区用户满意度评分的频率分布表

满意度评分分组
频数	2	8	14	10	6

（Ⅰ）描述出 $B$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
$B$ 地区用户满意度评分的频率分布直方图

（Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：

满意度评分	低于70分	70分到89分	不低于90分
满意度等级	不满意	满意	非常满意

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

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$△ A B C$ 中 $D$ 是 $B C$ 上的点, $A D$ 平分 $∠ B A C, B D = 2 D C$ .

（Ⅰ）求 $\frac{\sin ∠ B}{\sin ∠ C}$ ；
（Ⅱ）若 $∠ B A C = 60^{°}$ ,求 $∠ B$ .

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设 $a, b, c, d$ 均为正数，且 $a + b = c + d$ ，证明：
（Ⅰ）若 $a b > c d$ ，则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ ；
（Ⅱ） $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ 是 $| a - b | < | c - d |$ 的充要条件．

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