如图，已知椭圆$C_1$与$C_2$的中心在坐标原点$O$，长轴均为$MN$且在$x$轴上，短轴长分别为$2m$，$2n\left(m>n\right)$，过原点且不与$x$轴重合的直线$l$与$C_1,C_2$的四个交点按纵坐标从大到小依次为$A,B,C,D$，记$\lambda =\frac{\pi }{n}$，$∆BDM$和$∆ABM$的面积分别为$S_1$和$S_2$．
（1）当直线$l$与$y$轴重合时，若$S_1=\lambda S_2$，求$\lambda$的值；
（2）当$\lambda$变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线$l$，使得$S_1=\lambda S_2$？并说明理由．