在平面直角坐标系$xOy$中，已知椭圆$C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左焦点为$F_1\left(-1,0\right)$，且点$P\left(0,1\right)$在$C_1$上。
（1）求椭圆$C_1$的方程；
（2）设直线$l$同时与椭圆$C_1$和抛物线$C_2:y^2=4x$相切，求直线$l$的方程.