某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,求的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
已知定义在上的函数,其中为大于零的常数. (Ⅰ)当时,令, 求证:当时,(为自然对数的底数); (Ⅱ)若函数,在处取得最大值, 求的取值范围
已知,点在曲线上且 (Ⅰ)求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列的前n项和为,若对于任意的,存在正整数t,使得恒成立,求最小正整数t的值.
(本小题14分) 已知函数, (Ⅰ)求; (Ⅱ)已知数列满足,,求数列的通项公式; (Ⅲ)求证:.
(本小题14分) 已知椭圆的一个顶点为,离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线l与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为, 求△AOB面积的最大值.
(本小题13分) 定义在上的函数同时满足以下条件: ①在上是减函数,在上是增函数;②是偶函数; ③在处的切线与直线垂直. (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)设,求函数在上的最小值.