长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，，点P的轨迹为曲线C.
（1）以直线AB的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；
（2）求点P到点距离的最大值.

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按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 $a$ 元，如果他卖出该产品的单价为 $m$ 元，则他的满意度为 $\frac{m}{m + a}$ ；如果他买进该产品的单价为 $n$ 元，则他的满意度为 $\frac{n}{n + a}$ .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ ，则他对这两种交易的综合满意度为 $\sqrt{h_{1} h_{2}}$ .
现假设甲生产 $A$ 、 $B$ 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产 $A$ 、 $B$ 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品 $A$ 、 $B$ 的单价分别为 $m_{A}$ 元和 $m_{B}$ 元，甲买进 $A$ 与卖出B的综合满意度为 $h_{甲}$ ，乙卖出 $A$ 与买进 $B$ 的综合满意度为 $h_{乙}$

(1)求 $h_{甲}$ 和 $h_{乙}$ 关于 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 的表达式；当 $m_{A} = \frac{3}{5} m_{B}$ 时，求证： $h_{乙}$ = $h_{甲}$ ；
(2)设 $m_{A} = \frac{3}{5} m_{B}$ ，当 $m_{A}$ 、 $m_{B_{}}$ 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为 $h_{0}$ ，试问能否适当选取 $m_{A}$ 、 $m_{B}$ 的值，使得 $h_{甲} = h_{乙}$ 和 $h_{乙} \geq h_{0}$ 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中,已知圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ .
（1）若直线 $l$ 过点 $A (4, 0)$ ,且被圆 $C_{1}$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ,求直线 $l$ 的方程；

（2）设 $P$ 为平面上的点,满足:存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ,它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交,且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

题型：未知
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设 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，满足 ${a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} = {a_{4}}^{2} + {a_{5}}^{2}, S_{7} = 7$ .

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

（2）试求所有的正整数 $m$ ，使得 $\frac{a_{m} a_{m + 1}}{a_{m + 2}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的项.

题型：未知
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如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $A_{1} B, A_{1} C$ 的中点，点 $D$ 在 $B_{1} C_{1}$ 上， $A_{1} D ⊥ B_{1} C$ .
求证：（1） $E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）平面 $A_{1} F D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

题型：未知
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设向量 $\overset{⇀}{a} = (4 \cos α, \sin α), \overset{⇀}{b} = (\sin β, 4 \cos β), \overset{⇀}{c} (\cos β, - 4 \sin β)$
（1）若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b} - 2 \overset{⇀}{c}$ 垂直，求 $\tan (α + β)$ 的值；

（2）求 $|\overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}|$ 的最大值;
（3）若 $\tan α t a n β = 16$ ，求证： $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ .

题型：未知
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