设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择I的两个非空子集A和B

设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择I的两个非空子集A和B，求使B中最小的数大于A中最大的数的不同选择方法有多少种？

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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 离心率为直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$

（I）求 $a, b$ ；
（II）设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交有 $A, B$ 两点，且 $|A F_{2}| - |B F_{1}|$ 证明： $|A F_{2}|, |A B|, |B F_{2}|$ 成等比数列

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已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 x + 1$ .

（I）当 $a = - \sqrt{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）若 $x \in [2, + \infty)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ 各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.
（I）求第局甲当裁判的概率；
（II）求前局中乙恰好当次裁判概率.

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °, B C = 2 A D, △ P A B$ $与 △ P A D$ 都是边长为2的等边三角形.

（I）证明： $P B ⊥ C D$

（II）求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $(a + b + c) (a - b + c) = a c$ .
（Ⅰ）求 $B$ ；
（Ⅱ）若 $\sin A \sin C = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ ，求 $C$ .

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