某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板,其周长为4m.这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,ABCD(AB>AD)为长方形薄板,沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能,凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.(1)设AB=xm,用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;(2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽?(3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?
已知函数(). (1)若,求曲线在点处的切线方程; (2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;
已知椭圆的两个焦点为、,离心率为,直线与椭圆相交于、两点,且满足,,为坐标原点. (1)求椭圆的方程; (2)证明:的面积为定值.
如图,在四棱锥中,⊥平面,, ,,,为线段上的点, (1)证明:⊥平面; (2)若是的中点,求与平面所成的角的正切值.
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分). 已知甲代表队数据的中位数为,乙代表队数据的平均数是. (1)求,的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取名成绩不低于分的学生,求抽到的学生中,甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率; (3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明理由(方差较小者稳定).
已知正项数列的前项和为,且,,成等差数列. (1)证明数列是等比数列; (2)若,求数列的前项和.