如图,在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点在棱上,且满足.(1)求证:;(2)在棱上确定一点,使、、、四点共面,并求此时的长;(3)求平面与平面所成二面角的余弦值.
(本小题满分12分)已知函数图像上点处的切线方程与直线平行(其中),(I)求函数的解析式;(II)求函数上的最小值;(III)对一切恒成立,求实数t的取值范围.
(本小题满分12分)已知椭圆的焦距为4,且与椭圆有相同的离心率,斜率为的直线经过点,与椭圆交于不同两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)当椭圆的右焦点在以为直径的圆内时,求的取值范围.
(本小题满分12分)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC ="∠BAD" =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE = x,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图).(I)当x=2时,求证:BD⊥EG ;(II)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;(III)当取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.]
(本小题满分12分),是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列,数列的前项和为,且.(I)求数列,的通项公式; (II)记=,求数列的前项和.
本小题满分12分)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1.(I)已知集合P={-1,1,2,3,4,5},Q={-2,-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;(II)在区域内随机任取一点(a,b).求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.