如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,P是斜边AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),以点P为圆心,PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D,射线PD交射线BC于点E.(1)如图1,若点E在线段BC的延长线上,设AP=x,CE=y,①求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;②当以BE为直径的圆和⊙P外切时,求AP的长;(2)设线段BE的中点为Q,射线PQ与⊙P相交于点I,若CI=AP,求AP的长.
为倡导健康环保,自带水杯已成为一种好习惯,某超市销售甲,乙两种型号水杯,进价和售价均保持不变,其中甲种型号水杯进价为25元 / 个,乙种型号水杯进价为45元 / 个,下表是前两月两种型号水杯的销售情况:
时间
销售数量(个 )
销售收入(元 ) (销售收入 = 售价 × 销售数量)
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
(1)求甲、乙两种型号水杯的售价;
(2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个,这批水杯进货的预算成本不超过2600元,且甲种型号水杯最多购进55个,在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种型号水杯 a 个,利润为 w 元,写出 w 与 a 的函数关系式,并求出第三月的最大利润.
遵义市各校都在深入开展劳动教育,某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间(单位: h ) 的情况,从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
课外劳动时间频数分布表:
劳动时间分组
频数
频率
0 ⩽ t < 20
2
0.1
20 ⩽ t < 40
4
m
40 ⩽ t < 60
6
0.3
60 ⩽ t < 80
a
0.25
80 ⩽ t < 100
3
0.15
解答下列问题:
(1)频数分布表中 a = , m = ;将频数分布直方图补充完整;
(2)若七年级共有学生400人,试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 60 h 的人数;
(3)已知课外劳动时间在 60 h ⩽ t < 80 h 的男生人数为2人,其余为女生,现从该组中任选2人代表学校参加"全市中学生劳动体验"演讲比赛,请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率.
如图, AB 是 ⊙ O 的直径,点 C 是 ⊙ O 上一点, ∠ CAB 的平分线 AD 交 BC ̂ 于点 D ,过点 D 作 DE / / BC 交 AC 的延长线于点 E .
(1)求证: DE 是 ⊙ O 的切线;
(2)过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F ,连接 BD .若 OF = 1 , BF = 2 ,求 BD 的长度.
某校为检测师生体温,在校门安装了某型号测温门.如图为该测温门截面示意图,已知测温门 AD 的顶部 A 处距地面高为 2 . 2 m ,为了解自己的有效测温区间.身高 1 . 6 m 的小聪做了如下实验:当他在地面 N 处时测温门开始显示额头温度,此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 18 ° ;在地面 M 处时,测温门停止显示额头温度,此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 60 ° .求小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度.(额头到地面的距离以身高计,计算精确到 0 . 1 m , sin 18 ° ≈ 0 . 31 , cos 18 ° ≈ 0 . 95 , tan 18 ° ≈ 0 . 32 )
如图,已知抛物线经过两点,,是抛物线与轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设的面积为,求关于的函数表达式(指出自变量的取值范围)和的最大值;
(3)点在抛物线上运动,点在轴上运动,是否存在点、点使得,且与相似,如果存在,请求出点和点的坐标.