如图,在△中,,平分∠,∥.求证:.
关于 x 的方程 2 x 2 − 5 x sin A + 2 = 0 有两个相等的实数根,其中 ∠ A 是锐角三角形 ABC 的一个内角.
(1)求 sin A 的值;
(2)若关于 y 的方程 y 2 − 10 y + k 2 − 4 k + 29 = 0 的两个根恰好是 ΔABC 的两边长,求 ΔABC 的周长.
如图, CD 是 ⊙ O 的切线,点 C 在直径 AB 的延长线上.
(1)求证: ∠ CAD = ∠ BDC ;
(2)若 BD = 2 3 AD , AC = 3 ,求 CD 的长.
小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出,他们的家分别距离剧院 1200 m 和 2000 m ,两人分别从家中同时出发,已知小明和小刚的速度比是 3 : 4 ,结果小明比小刚提前 4 min 到达剧院.求两人的速度.
2018年东营市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒书香援疆”捐书活动,200多所学校的师生踊跃参与,向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本.某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计,根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表.请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题:
图书种类
频数(本 )
频率
名人传记
175
a
科普图书
b
0.30
小说
110
c
其他
65
d
(1)求该校九年级共捐书多少本;
(2)统计表中的 a = , b = , c = , d = ;
(3)若该校共捐书1500本,请估计“科普图书”和“小说”一共多少本;
(4)该社团3名成员各捐书1本,分别是1本“名人传记”,1本“科普图书”,1本“小说”,要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介,请用列表法或树状图求选出的2人恰好1人捐“名人传记”,1人捐“科普图书”的概率.
如图1,在平面直角坐标系中,直线 y = x − 1 与抛物线 y = − x 2 + bx + c 交于 A 、 B 两点,其中 A ( m , 0 ) 、 B ( 4 , n ) ,该抛物线与 y 轴交于点 C ,与 x 轴交于另一点 D .
(1)求 m 、 n 的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2,若点 P 为线段 AD 上的一动点(不与 A 、 D 重合),分别以 AP 、 DP 为斜边,在直线 AD 的同侧作等腰直角 ΔAPM 和等腰直角 ΔDPN ,连接 MN ,试确定 ΔMPN 面积最大时 P 点的坐标;
(3)如图3,连接 BD 、 CD ,在线段 CD 上是否存在点 Q ,使得以 A 、 D 、 Q 为顶点的三角形与 ΔABD 相似,若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.