设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N，都有＋…＋＝，_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有＋…＋＝，记S_n为数列{a_n}的前n项和．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若b_n＝3ⁿ＋(－1)ⁿ^－1λ·2a_n(λ为非零常数，n∈N^*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N^*，都有b_n_＋1>b_n.

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将数列 ${a_{n}}$ 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表：
$a_{1}$

$a_{2}$ $a_{3}$

$a_{4}$ $a_{5}$ $a_{6}$

$a_{7}$ $a_{8}$ $a_{9}$ $a_{10}$

……
记表中的第一列数 $a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{7}$ ……构成的数列为 ${b_{n}}$ ， $b_{1} = a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{2 b_{n}}{b_{n} S_{n} - {S_{n}}^{2}} = 1 (n \geq 2)$

（I）证明数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 成等差数列，并求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（II）上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当 $a_{31} = - \frac{4}{91}$ 时，求上表中第 $k (k \geq 3)$ 行所有项的和

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(本小题满分13分)
已知定义在R上的函数(a，b，c，d为实常数)的图象关于原点对称，且当x＝1时f(x)取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）证明：对任意∈[－1，1]，不等式成立；
（Ⅲ）若函数在区间(1，∞)内无零点，求实数m的取值范围.

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