在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′(如图)．

(1)求证：AC⊥平面ABC′；
(2)求证：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值．

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某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：千元）对年销售量 $y$ （单位： $t$ ）和年利润 $z$ （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}$ （ $i$ =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.


46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

题型：未知
难度：未知

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如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C$ =120°， $E, F$ 是平面 $A B C D$ 同一侧的两点， $B E$ ⊥平面 $A B C D$ ， $D E$ ⊥平面 $A B C D$ ， $B E = 2 D E$ ， $A E ⊥ E C$ .

（Ⅰ）证明：平面 $A E C$ ⊥平面 $A F C$ ；
（Ⅱ）求直线 $A E$ 与直线 $C F$ 所成角的余弦值.

题型：未知
难度：未知

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$S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{n} > 0$ ， ${a_{n}}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n - 1}}$ ,求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = 4 x - x^{2}, x \in R$ .

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间;
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ,曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ,求证:对于任意的正实数 $x$ ,都有 $f (x) \leq g (x)$ ;
（Ⅲ）若方程 $f (x) = a$ ( $a$ 为实数)有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ,求证: $x_{2} - x_{1} < - \frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}$ .

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $B$ ,左焦点为 $F$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ,
（Ⅰ）求直线 $B F$ 的斜率;
（Ⅱ）设直线 $B F$ 与椭圆交于点 $P$ ( $P$ 异于点 $B$ ),过点 $B$ 且垂直于 $B P$ 的直线与椭圆交于点 $Q$ （ $Q$ 异于点 $B$ ）直线 $P Q$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ , $|P M| = l |M Q|$ .
（ⅰ）求 $l$ 的值;
（ⅱ）若 $|P M| \sin ∠ B Q P = \frac{7 \sqrt{5}}{9}$ ,求椭圆的方程.

题型：未知
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