已知动直线与椭圆交于、两不同点，且△的面积，其中为坐标原点.

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知动直线与椭圆交于、两不同点，且△的面积=，其中为坐标原点.
（1）证明和均为定值；
（2）设线段的中点为，求的最大值；
（3）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断△的形状；若不存在，请说明理由.

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在平面直角坐标系 $x o y$ 中，经过点 $(0, \sqrt{2})$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 有两个不同的交点 $P$ 和 $Q$ .
（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴的交点分别为 $A$ 、 $B$ ，是否存在常数 $k$ ，使得向量 $\underset{O P}{\to} + \underset{O Q}{\to}$ 与 $\underset{A B}{\to}$ 共线？如果存在，求 $k$ 值；如果不存在，请说明理由.

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如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中, 侧面 $S A B$ 与侧面 $S A C$ 均为等边三角形, $∠ B A C = 90^{°}$ , $O$ 为 $B C$ 中点.
（Ⅰ）证明： $S O ⊥$ 平面 $A B C$

（Ⅱ）求二面角 $A - S C - B$ 的余弦值.

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如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测点 $C$ 与 $D$ . 现测得 $∠ B C D = α$ ， $∠ B C D = β$ ， $C D = s$ ，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ$ ，求塔高 $A B$ .

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已知函数 $f (x) = x_{2} + x - 1$ ， $α$ 、 $β$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两个根( $α > β$ )， $f ` (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，设 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - \frac{f (a_{n})}{f ` (a_{n})} (n = 1, 2, . . .)$ （n=1，2，…），

(Ⅰ)求 $α$ 、 $β$ 的值；

(Ⅱ)已知对任意的正整数 $n$ 有 $a_{n} ＞ α$ ，记 $b_{n} = \ln \frac{a_{n} - β}{a_{n} - α} (n = 1, 2, . . .)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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已知 $a$ 是实数，函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 2 x - 3 - a$ ，如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上有零点，求实数 $a$ 的取值范围。

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