如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要

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如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到，）.

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如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的直线 $EF$ 与 $BA$ 、 $DC$ 的延长线分别交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $AE = CF$ ；

（2）请再添加一个条件，使四边形 $BFDE$ 是菱形，并说明理由．

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先化简，再求值： $\frac{m^{3} - 2 m^{2}}{m^{2} - 4 m + 4} \div (\frac{9}{m - 3} + m + 3)$ ，其中 $m$ 是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且 $m$ 是整数．

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计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \tan 60 ° - | 2 - \sqrt{3} | + {(π - 3)}^{0} - \sqrt{12}$ ．

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ 和 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴为直线 $x = \frac{5}{2}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$ 是线段 $BC$ 上的一个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），过点 $P$ 作 $y$ 轴的平行线交抛物线于点 $Q$ ，连接 $OQ$ ，当线段 $PQ$ 长度最大时，判断四边形 $OCPQ$ 的形状并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下， $D$ 是 $OC$ 的中点，过点 $Q$ 的直线与抛物线交于点 $E$ ，且 $∠ DQE = 2 ∠ ODQ$ ．在 $y$ 轴上是否存在点 $F$ ，得 $ΔBEF$ 为等腰三角形？若存在，求点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 边 $AD$ 上，点 $F$ 是线段 $AB$ 上的动点（不与点 $A$ 重合）， $DF$ 交 $AC$ 于点 $G$ ， $GH ⊥ AD$ 于点 $H$ ， $AB = 1$ ， $DE = \frac{1}{3}$ ．

（1）求 $\tan ∠ ACE$ ；

（2）设 $AF = x$ ， $GH = y$ ，试探究 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（写出 $x$ 的取值范围）；

（3）当 $∠ ADF = ∠ ACE$ 时，判断 $EG$ 与 $AC$ 的位置关系并说明理由．

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