如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,3)、B(1,1)、C(5,1),先将△ABC作关于x轴的轴对称图形得到△A1B1C1,再将△A1B1C1向左平移5个单位得△A2B2C2.(1)分别画出两次变换的像△A1B1C1与△A2B2C2;(2)求出边AB所在直线的函数解析式,并判断点C2是否在该直线上.
如图所示, AB 是 ⊙ O 的直径,点 C , D 是 ⊙ O 上不同的两点,直线 BD 交线段 OC 于点 E ,交过点 C 的直线 CF 于点 F ,若 OC = 3 CE ,且 9 E F 2 - C F 2 = O C 2 .
(1)求证:直线 CF 是 ⊙ O 的切线;
(2)连接 OD , AD , AC , DC ,若 ∠ COD = 2 ∠ BOC .
①求证: △ ACD ∼ △ OBE ;
②过点 E 作 EG / / AB ,交线段 AC 于点 G ,点 M 为线段 AC 的中点,若 AD = 4 ,求线段 MG 的长度.
点 P 到图形 Q (可以是线段、三角形、圆或不规则图形等)的距离是指点 P 与图形 Q 中所有点连接的线段中最短线段的长度.如图①中的两个虚线段 PQ 的长度都表示点 P 到图形 Q 的距离.
如图②,在平面直角坐标系 xOy 中, △ ABC 的三个顶点坐标分别为 A 2 , 1 , B 0 , 3 , C 6 , 3 ,点 P 从原点出发,以每秒 1 个单位长度的速度向 x 轴的正方向运动了 t s .
(1)当 t = 0 时,求点 P 到 △ ABC 的距离;
(2)当点 P 到 △ ABC 的距离等于线段 AP 的长度时,求 t 的取值范围;
(3)当点 P 到 △ ABC 的距离大于 5 时,求 t 的取值范围.
如图,四边形 ABCD , DEFG 都是正方形,连接 AE , CG , AE 与 CG 相交于点 M , CG 与 AD 相交于点 N .求证:
(1) AE = CG ;
(2) AN ⋅ DN = CN ⋅ MN .
如图, BD , CE 分别是 △ ABC 的两边上的高,过 D 作 DG ⊥ BC 于点 G ,分别交 CE 及 BA 的延长线于点 F , H .求证:
(1) D G 2 = BG ⋅ CG ;
(2) BG ⋅ CG = GF ⋅ GH .
如图,在 △ ABC 中, BAC = 90 ∘ , AD ⊥ BC 于点 D ,点 E 为直角边 AC 的中点,过点 D , E 作直线交 AB 的延长线于点 F .求证: AB AC = DF AF .