在圆上任取一点，设点在轴上的正投影为点．当点在圆上运动时，动

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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在圆上任取一点，设点在轴上的正投影为点．当点在圆上运动时，动点满足，动点形成的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，若、是曲线上的两个动点，且满足，求的取值范围.

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一条双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{1}, - y_{1})$ 是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 交点的轨迹 $E$ 的方程式；
（2）若过点 $H (0, h) (h > 1)$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 与轨迹 $E$ 都只有一个交点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ _,求 $h$ 的值.

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某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素 $C$ ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 $C$ .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素 $C$ .
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

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如图， $\overset{⏜}{A B C}$ 是半径为 $a$ 的半圆， $A C$ 为直径，点 $E$ 为 $\overset{⏜}{A C}$ 的中点，点 $B$ 和点 $C$ 为线段 $A D$ 的三等分点．平面 $A E C$ 外一点 $F$ 满足 $F B = D F = \sqrt{5} a$ ， $F E = \sqrt{6} a$ ．

（1）证明： $E B ⊥ F D$ ；
（2）已知点 $Q, R$ 分别为线段 $F E, F B$ 上的点，使得 $B Q = \frac{2}{3} F E$ , $F R = \frac{2}{3} F B$ ,求平面 $B E D$ 与平面 $R Q D$ 所成二面角的正弦值.

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某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为 $(490, 495]$ ， $（ 495, 500]$ ，…… $（ 510, 515]$ ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

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已知函数 $f (x) = A \sin (3 x + φ) (A > 0, x \in (- \infty, + \infty)), 0 < φ < π$ 在 $x = \frac{π}{12}$ 时取得最大值4．　
(1)求 $f (x)$ 的最小正周期；
(2)求 $f (x)$ 的解析式；
(3)若 $f (\frac{2}{3} α + \frac{π}{12}) = \frac{12}{5}$ ,求 $\sin α$ ．

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