设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）试确定的值，使得数列为等差数列；
（Ⅲ）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.

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如图所示，在多面体 $A_{1} B_{1} D_{1} D C B A$ ,四边形 $A A_{1} B_{1} B$ , $A D D_{1} A_{1}, A B C D$ 均为正方形, $E$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点,过 $A_{1}, D, E$ 的平面交 $C D_{1}$ 于 $F$ .

（Ⅰ）证明： $E F ∥ B_{1} C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $E - A_{1} D - B_{1}$ 余弦值.

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设 $n \in N^{+}$ ， $x_{n}$ 是曲线 $y = x^{2 n + 2} + 1$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $T_{n} = {x_{1}}^{2} {x_{3}}^{2} . . . {x_{2 n - 1}}^{2}$ ，证明 $T_{n} \geq \frac{1}{4 n}$ .

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已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.

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在中，,点在边上，，求的长.

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（Ⅰ）若在区间上不单调，求的取值范围；
（Ⅱ）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.

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