设等差数列的前项和为.且.(1)求数列的通项公式;(2)若,数列满足:,求数列的前项和.
已知函数 f ( x ) = 4 cos ω x · sin ω x + π 4 ( ω > 0 ) 的最小正周期为 π . (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 0 , π 2 上的单调性.
已知 a n 是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 A n ,第n项之后各项 a n + 1 , a n + 2 …的最小值记为 B n , d n = A n - B n . (1)若 a n 为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意 n ∈ N * , a n + 4 = a n ),写出 d 1 , d 2 , d 3 , d 4 的值; (2)设d为非负整数,证明: d n = - d ( n = 1 , 2 , 3 … )的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列; (3)证明:若 a 1 = 2 , d n = 1 ( n = 1 , 2 , 3 … ) ,则 a n 的项只能是1或2,且有无穷多项为1.
已知 A , B , C 是椭圆 W : x 2 4 + y 2 = 1 上的三个点, O 是坐标原点. (I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 O A B C 为菱形时,求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 O A B C 是否可能为菱形,并说明理由.
设 l 为曲线 C : y = ln x x 在点(1,0)处的切线. (I)求 l 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方.
如图,在三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中, A A 1 C 1 C 是边长为4的正方形.平面 A B C ⊥ 平面 A A 1 C 1 C , A B = 3 , B C = 5 .
(Ⅰ)求证: A A 1 ⊥ 平面 A B C ; (Ⅱ)求二面角 A 1 - B C 1 - B 1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 B C 1 存在点 D ,使得 A D ⊥ A 1 B ,并求 B D B C 1 的值.