等比数列的前n项和，已知对任意的,点均在函数的图像上.（1）

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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等比数列的前n项和，已知对任意的,点均在函数的图像上.
（1）求r的值.
(2)当b=2时，记，求数列的前n项和.

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已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

（1）当 $a = 5$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

（2）若关于 $x$ 的方程 $f (x) - \log_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$ 的取值范围．

（3）设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2}$ ， $1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t$ ， $t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围．

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双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{2}$ ，△ $F_{1} AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b = \sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{AB} = 0$ ，求 $l$ 的斜率．

题型：未知
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有一块正方形 $EFGH$ ， $EH$ 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 $F$ 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，其中 $S_{1}$ 中的蔬菜运到河边较近， $S_{2}$ 中的蔬菜运到 $F$ 点较近，而菜地内 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的分界线 $C$ 上的点到河边与到 $F$ 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 $O$ 为 $EF$ 的中点，点 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，如图

（1）求菜地内的分界线 $C$ 的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S_{1}$ 面积是 $S_{2}$ 面积的两倍，由此得到 $S_{1}$ 面积的经验值为 $\frac{8}{3}$ ．设 $M$ 是 $C$ 上纵坐标为1的点，请计算以 $EH$ 为一边，另一边过点 $M$ 的矩形的面积，及五边形 $EOMGH$ 的面积，并判断哪一个更接近于 $S_{1}$ 面积的“经验值”．

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将边长为1的正方形 $A A_{1} O_{1} O$ （及其内部）绕 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图， $\hat{AC}$ 长为 $\frac{2}{3} π$ ， $\hat{A 1 B 1}$ 长为 $\frac{π}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧．

（1）求三棱锥 $C - O_{1} A_{1} B_{1}$ 的体积；

（2）求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成的角的大小．

题型：未知
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已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + a$ ．

（1）当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) ⩽ 6$ 的解集；

（2）设函数 $g (x) = | 2 x - 1 |$ ，当 $x \in R$ 时， $f (x) + g (x) ⩾ 3$ ，求 $a$ 的取值范围．

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