某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．
（1）设第年该生产线设备低劣化值为，求的表达式；
（2）若该生产线前年设备低劣化平均值为,当达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由.

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 $|A P| = |O A|$ ，证明直线 $O P$ 的斜率 $k$ 满足 $|k| > \sqrt{3}$

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（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $T_{n} = a_{n} b_{1} + a_{n - 1} b_{2} + \dots + a_{1} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明 $T_{n} + 12 = - 2 a_{n} + 10 b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A C ⊥ A D, A B ⊥ B C, ∠ B A C = 45^{°}, P A = A D = 2, A C = 1$ .
（Ⅰ）证明 $P C ⊥ A D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值；
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现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用 $X, Y$ 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $ξ = |X - Y|$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E ξ$ .

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（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
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