设命题;命题,若是的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
(本小题满分14分)设函数.(1)当时,求的极值;(2)设A、B是曲线上的两个不同点,且曲线在A、B两点处的切线均与轴平行,直线AB的斜率为,是否存在,使得若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.
(本小题满分13分)已知椭圆的两个焦点为,离心率为,直线l与椭圆相交于A、B两点,且满足O为坐标原点.(1)求椭圆的方程; (2)求的最值.
(本小题满分12分)某公司研发甲、乙两种新产品,根据市场调查预测,甲产品的利润y(单位:万元)与投资(单位:万元)满足:(为常数),且曲线与直线在(1,3)点相切;乙产品的利润与投资的算术平方根成正比,且其图像经过点(4,4).(1)分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式;(2)已知该公司已筹集到40万元资金,并将全部投入甲、乙两种产品的研发,每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资,才能使该公司获得最大利润?其最大利润约为多少万元?(参考数据:)
(本小题满分12分)若数列的前n项和为,且满足:.(1)若数列是等差数列,求的通项公式.(2)若,求.
(本小题满分12分)如图所示,在直三棱柱中,为AB的中点,且(1)求证:;(2)求二面角的平面的正弦值.