设函数.（1）若，对一切恒成立，求的最大值；（2）设，且、是

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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设函数.
（1）若，对一切恒成立，求的最大值；
（2）设，且、是曲线上任意两点，若对任意，直线的斜率恒大于常数，求的取值范围.

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如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径，直线 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于 $E$ . $A D$ 垂直于 $C D$ 于 $D$ ， $B C$ 垂直于 $C D$ 于 $C$ ， $E F$ 垂直于 $F$ ，连接 $A E, B E$ .

证明：

（I） $∠ F E B = ∠ C E B$ ;

（II） $E F^{2} = A D \cdot B C$ .

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（I）证明当 $x \in [0, 1] 时， \frac{\sqrt{2}}{2} x \leq \sin x \leq x$  
（II）若不等式 $a x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2} + 2 (x + 2) \cos x \leq 4 对 x \in [0, 1]$ 恒成立,求实数 $a$ 取值范围.

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如图，抛物线 $C_{1} : x^{2} = 4 y, C_{2} : x^{2} = - 2 p y (p > 0)$ 点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在抛物线 $C_{2}$ 上，过 $M$ 作 $C_{1}$ 的切线，切点为 $A, B$ ( $M$ 为原点 $O$ 时， $A, B$ 重合于 $O$ ),当 $x_{0} = 1 - \sqrt{2}$ 时，切线 $M A$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ .

（I）求 $P$ 的值；
（II）当 $M$ 在 $C_{2}$ 上运动时,求线段 $A B$ 中点 $N$ 的轨迹方程( $A, B$ 重合于 $O$ 时，中点为 $O$ ).

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现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求
（I）所取的2道题都是甲类题的概率；
（II）所取的2道题不是同一类题的概率.

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（I）求证: $B C ⊥ 平面 P A C$

（II）设 $Q 为 P A 的重点， G 为 △ A O C 的重心, 求证 : Q G ∥ 平面 P B C$

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