已知二次函数 $y=x^2-2mx+m^2-1$.

（1）当二次函数的图象经过坐标原点 $O(0,0)$时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当 $m=2$时，该抛物线与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $D$，求 $C$、 $D$两点的坐标；
（3）在（2）的条件下， $x$轴上是否存在一点 $P$，使得 $PC+PD$最短？若 $P$点存在，求出 $P$点的坐标；若 $P$点不存在，请说明理由。