如图，在平面直角坐标系中，直线
与直线y=x交于点A，点B在直线上，∠BOA=90°．抛物线
过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，
．
（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接，
，设点
是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点
作
于点
，交
轴于点
，过点
作
交
于点
，交
轴于点
．设线段
的长为
，求
与
的函数关系式，并注明
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的面积为
，
①求点的坐标；
②设为直线
上一动点，连接
，直线
交直线
于点
，则点
在运动过程中，在抛物线上是否存在点
，使得
为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点
及其对应的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
若一个两位数十位、个位上的数字分别为，
，我们可将这个两位数记为
，易知
；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如
．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若，则
；
②若，则
；
③若，则
；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数
，则
一定能被 整除，
一定能被 整除，
一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；
②设任选的三位数为（不妨设
，试说明其均可产生该黑洞数．
某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元千克，每天的产量
（百千克）与销售价格
（元
千克）满足函数关系式
，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量
（百千克）与销售价格
（元
千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格 |
2 |
4 |
10 |
|
市场需求量 |
12 |
10 |
4 |
已知按物价部门规定销售价格不低于2元
千克且不高于10元
千克．
（1）直接写出与
的函数关系式，并注明自变量
的取值范围；
（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．
①当每天的半成品食材能全部售出时，求的取值范围；
②求厂家每天获得的利润（百元）与销售价格
的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当为 元
千克时，利润
有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则
应定为 元
千克．
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