甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为， (＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

	0	1	2	3

(Ⅰ)求至少有一位学生做对该题的概率；
(Ⅱ)求，的值；
(Ⅲ)求的数学期望.

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设函数 $f (x) = \ln x + \frac{m}{x}, m \in R$ .
（1）当 $m = e$ （ $e$ 为自然对数的底数）时，求 $f (x)$ 的最小值；
（2）讨论函数 $g (x) = f ` (x) - \frac{x}{3}$ 零点的个数；
（3）若对任意 $b > a > 0, \frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ .

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 $l : y = - \frac{1}{2} x + m$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点，与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交于 $C, D$ 两点，且满足 $\frac{|A B|}{|C D|} = \frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程.

题型：未知
难度：未知

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某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额（元）	0	1000	2000	3000	4000
车辆数（辆）	500	130	100	150	120

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10℅，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20℅，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

题型：未知
难度：未知

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在直角坐标系 $x O y$ 中,已知点 $A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2)$ ,点 $P (x, y)$ 在 $∆ A B C$ 三边围成的区域(含边界)上,且 $\overset{⇀}{O P} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C} (m, n \in R)$

（1）若 $m = n = \frac{2}{3}$ ,求 $|\overset{⇀}{O P}|$ ；
（2）用 $x, y$ 表示 $m - n$ ,并求 $m - n$ 的最大值.

题型：未知
难度：未知

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四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，平行于棱 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $A B, B D, D C, C A$ 于点 $E, F, G, H$ .

（1）求四面体 $A B C D$ 的体积；
（2）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形.

题型：未知
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