以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (t为参数，0<a<)，曲线C的极坐标方程为．
（I）求曲线C的直角坐标方程；
（II）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

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已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 的首项a₁=1，前n项和为S_n．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有 ${S_{n + 1}}^{\frac{1}{k}} - {S_{n}}^{\frac{1}{k}} = λ {a_{n + 1}}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“λ–k”数列．

（1）若等差数列 $\{a_{n}\}$ 是“λ–1”数列，求λ的值；

（2）若数列 $\{a_{n}\}$ 是“ $\frac{\sqrt{3}}{3} - 2$ ”数列，且a_n＞0，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 $\{a_{n}\}$ 为“λ–3”数列，且a_n≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

题型：未知
难度：未知

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已知关于x的函数 $y = f (x), y = g (x)$ 与 $h (x) = kx + b (k, b \in R)$ 在区间D上恒有 $f (x) \geq h (x) \geq g (x)$ ．

（1）若 $f (x) = x^{2} + 2 x ， g (x) = - x^{2} + 2 x ， D = (- \infty ， + \infty)$ ，求h(x)的表达式；

（2）若 $f (x) = x^{2} - x + 1 ， g (x) = k \ln x ， h (x) = kx - k, D = (0 ， + \infty)$ ，求k的取值范围；

（3）若 $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} ， g (x) = 4 x^{2} - 8 ， h (x) = 4 (t^{2} - t) x - 3 t^{4} + 2 t^{2} (0 < |t| \leq \sqrt{2}) ， D = [m, n] \subseteq [- \sqrt{2}, \sqrt{2}] ，$ 求证： $n - m \leq \sqrt{7}$ ．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 F ₁， F ₂，点 A在椭圆 E上且在第一象限内， AF ₂⊥ F ₁ F ₂，直线 AF ₁与椭圆 E相交于另一点 B．

（1）求△ AF ₁ F ₂的周长；

（2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E的右准线相交于点 Q，求 $\vec{OP} \cdot \vec{QP}$ 的最小值；

（3）设点 M在椭圆 E上，记△ OAB与△ MAB的面积分别为 S ₁， S ₂，若 S ₂=3 S ₁，求点 M的坐标．

题型：未知
难度：未知

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某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN平行， $O O^{'}$ 为铅垂线( $O^{'}$ 在 AB上).经测量，左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 $h_{1}$ (米)与 D到 $O O^{'}$ 的距离 a(米)之间满足关系式 $h_{1} = \frac{1}{40} a^{2}$ ；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 $h_{2}$ (米)与 F到 $O O^{'}$ 的距离 b(米)之间满足关系式 $h_{2} = - \frac{1}{800} b^{3} + 6 b$ .已知点 B到 $O O^{'}$ 的距离为40米.

（1）求桥 AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O O^{'}$ 的桥墩 CD和 EF，且 CE为80米，其中 C， E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 $\frac{3}{2} k$ (万元)( k>0).问 $O^{'} E$ 为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低?

题型：未知
难度：未知

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在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 $a = 3, c = \sqrt{2}, B = 45 °$ ．

（1）求 $\sin C$ 的值；

（2）在边 BC上取一点 D，使得 $\cos ∠ ADC = - \frac{4}{5}$ ，求 $\tan ∠ DAC$ 的值．

题型：未知
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