如图，边长为a的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，边长为a的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且，将△AED、△CFD分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点，连结A¢B．

（Ⅰ）判断直线EF与A¢D的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大小．

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某城市 $100$ 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160, 180)$ ， $[180, 200)$ ， $[200, 220)$ ， $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中 $x$ 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 的四组用户中，用分层抽样的
方法抽取户居民，则月平均用电量在 $[220, 240)$ 的用户中应抽取多少户？

题型：未知
难度：未知

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已知．
（1）求的值；
（2）求的值．

题型：未知
难度：未知

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已知函数

（Ⅰ）求的定义域，并讨论的单调性；
（Ⅱ）若，求在内的极值.

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设椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ,点 $O$ 为坐标原点,点 $A$ 的坐标为 $(a, 0)$ ,点 $B$ 的坐标为 $(0, b)$ ,点 $M$ 在线段 $A B$ 上,满足 $|B M| = 2 |M A|$ ,直线 $O M$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ .

（Ⅰ）求 $E$ 的离心率 $e$ ;
（Ⅱ）设点 $C$ 的坐标为 $(0, - b)$ , $N$ 为线段 $A C$ 的中点,证明: $M N ⊥ A B$ .

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如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， . $P A = 1, A B = 1, A C = 2, ∠ B A C = 60 °$ .

（Ⅰ）求三棱锥 $P - A B C$ 的体积；
（Ⅱ）证明：在线段 $P C$ 上存在点 $M$ ，使得 $A C ⊥ B M$ ，并求 $\frac{P M}{M C}$ 的值.

题型：未知
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