设椭圆 $E$的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$,点 $O$为坐标原点,点 $A$的坐标为 $\left(a,0\right)$,点 $B$的坐标为 $\left(0,b\right)$,点 $M$在线段 $AB$上,满足 $\left|BM\right|=2\left|MA\right|$,直线 $OM$的斜率为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$.

（Ⅰ）求 $E$的离心率 $e$;
（Ⅱ）设点 $C$的坐标为 $\left(0,-b\right)$, $N$为线段 $AC$的中点,证明: $MN\perp AB$.