如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”
（1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，
，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a, ∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同的速度分别沿折线AB－BC和AD－DC向终点C运动，记点P所经过的路程为s
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求
的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”？请直接写出tanβ的取值范围。
（4）本小题为选做题
依据（3）中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）。
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 为第四象限内抛物线上一点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最大值及此时点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线 向右平移经过点 ， 时，得到新抛物线 ，点 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点 ， 、 ， ，则线段 的中点 的坐标为 ， ．
在矩形 中， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，连接 ，将矩形 沿 折叠，点 落在点 处，点 落在点 处．
（1）如图1，当 与线段 交于点 时，求证： ；
（2）如图2，当点 在线段 的延长线上时， 交 于点 ，求证：点 在线段 的垂直平分线上；
（3）当 时，在点 由点 移动到 中点的过程中，计算出点 运动的路线长．
如图，在 中， 是直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点， 为弦 延长线上一点，连接 并延长交直径 的延长线于点 ，连接 交 于点 ，若 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为8， ，求 的长．
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