给定常数 $c>0$,定义函数 $f\left(x\right)=2\left|x+c+4\right|-\left|x+c\right|$,数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$满足 $a_{n+1}=f\left(a_n\right),n\in N^{*}$.
（1）若 $a_1=-c-2$,求 $a_2$及 $a_3$；
（2）求证:对任意 $n\in N^{*},a_{n+1}-a_n\ge c$；
（3）是否存在 $a_1$,使得 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$成等差数列？若存在,求出所有这样的 $a_1$,若不存在,说明理由.