已知函数 $f\left(x\right)=\ln \left(1+x\right)-\frac{x\left(1+\lambda x\right)}{1+x}$.
（Ⅰ）若 $x\ge 0$时, $f\left(x\right)\le 0$,求 $\lambda$的最小值；
（Ⅱ）设数列 $\left\{a_n\right\}$的通项 $a_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}$,证明: $a_{2n}-a_n+\frac{1}{4n}>\ln 2$.