已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为3，直线 $y=2$与 $C$的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$.
（Ⅰ）求 $a,b$；
（Ⅱ）设过 $F_2$的直线 $l$与 $C$的左、右两支分别交于 $A,B$两点，且 $\left|A{F}_1\right|=\left|B{F}_1\right|$，证明： $\left|A{F}_2\right|,\left|AB\right|,\left|B{F}_2\right|$成等比数列.