定义区间，，，的长度均为，其中．（1）求关于的不等式的解集构

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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定义区间，，，的长度均为，其中．
（1）求关于的不等式的解集构成的区间的长度；
（2）若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；
（3）已知关于的不等式，的解集构成的各区间的长度和超过，求实数的取值范围．

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某地有三家工厂，分别位于矩形 $A B C D$ 的顶点 $A, B$ ，及 $C D$ 的中点 $P$ 处，已知 $A B = 20$ $k m$ , $C D = 10 k m$ ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 $A B C D$ 的区域上（含边界），且 $A, B$ 等距离的一点 $O$ 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 $A O, B O, O P$ ，设排污管道的总长为 $y k m$ 。
（I）按下列要求写出函数关系式：
①设 $∠ B A O = θ (r a d)$ ，将 $y$ 表示成 $θ$ 的函数关系式；
②设 $O P = x (k m)$ ，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数关系式。
（Ⅱ）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

题型：未知
难度：未知

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在四面体 $A B C D$ 中， $C B = C D$ ， $A D ⊥ B D$ ，且 $E, F$ 分别是 $A B, B D$ 的中点，

求证：

（I）直线 $E F ∥ 面 A C D$ ；
（II） $面 E F C ⊥ 面 B C D$ 。

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $o x$ 轴为始边做两个锐角 $α, β$ ，它们的终边分别与单位圆相交于 $A, B$ 两点，已知 $A, B$ 的横坐标分别为 $\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

（1）求 $\tan (α + β)$ 的值；

（2）求 $α + 2 β$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线为 $l, M, N$ 是 $l$ 上的两个动点， $\overset{⇀}{F_{1} M} \cdot \overset{⇀}{F_{2} N} = 0$ 。

（Ⅰ）若 $|\overset{⇀}{F_{1} M}| = |\overset{⇀}{F_{2} N}| = 2 \sqrt{5}$ ，求 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）证明：当 $|M N|$ 取最小值时， $\overset{⇀}{F_{1} M} + \overset{⇀}{F_{2} N}$ 与 $\overset{⇀}{F_{1} F_{2}}$ 共线。

题型：未知
难度：未知

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如图，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B E F$ 与 $A B C D$ 都是直角梯形，
$∠ B A D = ∠ F A B = 90^{°}$ , $B C = \frac{1}{2} A D$ ， $B E$ $= \frac{1}{2} A F$ 。

（Ⅰ）证明： $C, D, E, F$ 四点共面；
（Ⅱ）设 $A B = B C = B E$ ，求二面角 $A - E D - B$ 的大小。

题型：未知
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